En estos vídeo aparecen las proyecciones de los puntos escritas de
forma diferente a como lo hacemos nosotros. Se usan minúscula y comilla,
a´ y a, en lugar de mayúsculas y números, A2 y A1.
Canal AG dibujo y mates. https://youtu.be/wCIgfF6fJqM Los pondré mucho como explicación pues el profesor usa una nomenclatura como la que usamos nosotros y están bien explicadas las cosas.
Enlace a AG Mírese el vídeo a partir del segundo 10´39´´
Muy bueno es este cuadernillo de láminas de mestreacasa sobre el punto, la recta y el plano. Creo que es fácil de seguir y no mezcla tipos de ejercicios como en otros.
Para definir una recta necesitamos siempre 2 puntos.
Pueden ser:
2 puntos cualquiera que pertenezcan a la recta------por lo que las proyecciones del punto coincidirán con las de la recta homónimas.
Usar 2 puntos notables llamadas trazas de la recta V y H.
Son la intersección de la recta con el plano vertical de proyección V y en el plano horizontal de proyección H. En ocasiones se puede usar la traza en el plano de perfil P.
Se exceptúa la recta de perfil, por ser el único caso en que un punto puede no pertenecer a ella, a pesar de tener sus proyecciones sobre las proyecciones de la recta.Ese punto, por ejemplo, puede tener sus proyecciones P1 y P2 en r1 y r2 pero al ver r3 resulta que P3 no está sobre ella.
1. RECTA DEFINIDA POR 2 DE SUS PUNTOS, A y B.
2. RECTA DEFINIDA POR SUS TRAZAS V H.
Para hallar la traza horizontal Hr1-Hr2, de una recta,
se prolonga su proyección vertical r2 hasta su intersección Hr2 con la
línea de tierra y por ese punto, se levanta una perpendicular a LT
hasta su intersección Hr1 con la otra proyección de la recta.
Para hallar la traza vertical Vr1-Vr2 de una recta, se
prolonga su proyección horizontal hasta su encuentro en Vr1 con la
línea de tierra y por este punto, se levanta una perpendicular a LT
hasta su intersección Vr2 con la otra proyección.
Los puntos que separan las partes vistas y ocultas de una recta son, precisamente, sus trazas vistas.
Si las dos trazas son vistas, se ve el segmento determinado por ellas.
Si solamente tiene una traza vista,
ésta divide a la recta en dos semirrectas, de las cuales será oculta la
que contiene a la traza oculta, y vista la otra.
Si las dos trazas de la recta son ocultas, no se ve ninguna parte de ella.
Para mayor claridad, conviene dibujar con trazo discontinuo las partes ocultas de la recta
La traza de una recta en el segundo bisector se determina por la intersección de sus dos proyecciones.
Para hallar la traza de una recta con
el primer bisector, se halla la simétrica de una de las proyecciones de
la recta, respecto a LT, y su intersección con la otra proyección, nos
determina una de las proyecciones de la traza.
En vídeo:
Punto de intersección de una recta con el primer bisector. Enlace UPV.
Punto de intersección de una recta común con el 2 bisector. Enlace UPV.
HAY RECTAS EN LAS QUE UNA DE LAS PROYECCIONES ESTÁ EN VERDADERA MAGNITUD.
En realidad, si has seguido el artículo completo y tienes los conocimientos básicos que he ido poniendo en 10endibujo verás que no te cuesta tanto como puede parecer. ¡Vamos!
Para hacer la sección de un sólido por un plano oblicuo te voy a dar 3 métodos que funcionan perfectamente en todos los casos y además te voy a dar 2 trucos de regalo.
MÉTODO #1 PARA SECCIONAR UN POLIEDRO: POR CAMBIO DE PLANO
El cambio de plano es el método estrella para hacer una sección por plano oblicuo, funciona siempre y es muy sencillo.
Esto es tan sencillo como poner las cosas a nuestro favor. Si me dan un plano oblicuo y, la verdad, no me da mucha información, cambio mi punto de vista y me pongo a mirar el plano en una posición más favorable.
Con un plano oblicuo, el mejor cambio de plano posible es aquel en el que el plano se ve como proyectante.
Para conseguir esto podemos hacer un cambio de plano horizontal o vertical. Veamos el caso más sencillo de una pirámide. Tú ya sabes cómo se hace un cambio de plano, ¿verdad?
CAMBIO DE PLANO DE LA PIRÁMIDE
CAMBIO DE PLANO DEL PLANO
Tenemos nuevamente el inconveniente de una arista de perfil, la B-V. Como hemos visto, la manera más rápida e inmediata de resolverlo es por homología, así que lo hago de esta manera, apoyándome en la arista A-B.
El último paso será encontrar la proyección vertical de la sección.
Por si no ves claramente la pieza seccionada, aquí te la dejo limpia de líneas auxiliares y con la sección rayada.
Como te decía, el método del cambio de plano funciona siempre
MÉTODO #2 PARA SECCIONAR UN POLIEDRO: POR ARISTAS CONTENIDAS EN PLANOS
Este método está basado en las intersecciones de rectas con planos. En este caso, la arista es la recta y el plano de sección el plano dado. Lo que tienes que hacer es contener una arista en un plano cuya intersección con el plano dado sea fácil.
Con la arista A-V tenemos un pequeño inconveniente y es que la intersección con el plano P sale muy lejos del dibujo. Podemos utilizar un método alternativo para encontrar la sección mediante un plano auxiliar, podemos hacer el cambio de plano solo para esa arista o podemos facilitarnos la vida utilizando la homología. Me decido por esta última opción
Con esto queda hecha la sección y puedes comprobar que sale exactamente igual que con el primer método de cambio de plano.
Ficha en PDF 1- Al ser P un plano proyectante la sección se vé directamente en la proyección horizontal, pero nos encontramos con un problema cuando llevamos los puntos al PV: no sabemos la cota de los 2 puntos donde corta al cuadrado de la base. Para ello dibujamos la proyección del cuadrado en el PP y tranlsladando el alejamiento conseguimos las cotas de los 2 puntos: A y E 1- Dibujamos las aristas de la pirámide uniendo los vértices 2-Al estar la base apoyada en el PH, vemos que no la corta el plano P 3- Para hallar la intersección de las aristas restantes con P, las metemos en planos (P,Q,My N) y hallamos la intersección con P .
MÉTODO #3 PARA SECCIONAR UN POLIEDRO: POR PLANOS QUE CONTIENEN CARAS
Este método funciona perfectamente igual que los anteriores, pero tiene el inconveniente de que puede ser complicado contener una cara en un plano. Por eso este método está especialmente indicado cuando las caras sean perpendiculares a los planos de proyección.
LOS PRISMAS
¿Te das cuenta cómo van coincidiendo las rectas de sección de cada cara unas con otras? Se va formando lógicamente una sección continua.
Hasta ahora hemos hecho la intersección de 3 caras con el plano P. Podríamos seguir con las otras dos pero quiero mostrarte una alternativa. De hecho, si hiciéramos contener las caras A-B y B-C en dos planos proyectantes, ambas intersecciones con el plano P quedarían lejos del dibujo. Para estos casos puedes utilizar el método 2 explicado anteriormente, que es contener una arista en un plano.
Puesto que ya conocemos los puntos de corte del plano P con las aristas A, C, D y E, solo nos faltaría conocer la intersección con la arista B. Pasamos entonces un plano W frontal (porque es el más sencillo) por la arista B y encontramos su intersección con el plano P.
La intersección de un plano oblicuo con un plano frontal es una recta frontal, que podemos dibujar a partir del punto de corte de sus trazas horizontales.
¡Aquí has de tener mucho cuidado!
No te quedes con toda la recta. Hemos contenido la arista vertical en un plano, por tanto la recta de intersección que obtenemos nos da un punto.
TRUCO Nº1 PARA SECCIONES DE POLIEDROS: LA CARA SUPERIOR
En numerosas ocasiones tendrás que hacer la sección de un prisma o cualquier otro poliedro que esté limitado superiormente por una cara plana horizontal. Por ejemplo el caso del prisma anterior o de los que te indico a continuación.
Un buen punto de partida es encontrar la intersección de dicho plano horizontal con el plano P que nos dan. Si la recta de intersección corta la proyección horizontal de esa cara, ya tenemos 2 puntos de la sección. Si queda fuera de la cara, sabemos que la sección quedará cerrada más abajo.
Aunque pueda parecer confuso es útil para empezar. Veamos dos ejemplos, uno en el que corta a la cara superior y otro en que no.
En este primer ejemplo, el plano P corta a la cara superior. Hacemos contener esa cara en un plano Q horizontal, obtenemos la intersección de P con Q, que es la recta horizontal h. Esta corta a la cara superior del prisma en proyección horizontal en los puntos 1 y 2. Sube estos puntos a la proyección vertical porque son definitivos de la sección.
Ahora solo quedaría encontrar la intersección de la cara C-D (mediante plano proyectante U) con el plano P y tendríamos los puntos 3 y 4. Al unirlos con 1 y 2 obtenemos la sección definitiva.
Vamos con el segundo ejemplo.
En este caso, al seguir el mismo proceso anterior de contener la cara superior en un plano Q vemos que la recta de intersección h queda fuera de la proyección horizontal del prisma. Esto significa que el plano no corta la cara superior del prisma y simplemente tendremos que proceder según alguno de los métodos anteriores. Yo tomo el tercero, porque es más adecuado para prismas. Contengo dos caras verticales del prisma en sendos planos proyectantes y hago la intersección de estos planos con el plano P.
PRISMA IV
1.hallamos la proyección en el horizontal, llevando cotas y alejamientos 2.Para conseguir la intersección de las 6 aristas con el plano P, las metemos en planos (N,Q,M). Con rectas n,q y m hallamos la sección de cada arista con P. los 2 hexágonos se han pasado por alto ya que parece que no son cortados (podríamos meter cada uno de ellos en un plano paralelo al perfil, pero no hace falta) 3.Para ver la verdadera magnitud, abatimos el plano P.
Ejercicio 2 1 Hallamos la proyección vertical del punto O mediante una recta horizontal Abatimos el plano P con el punto O Dibujamos el hexágono en el plano abatido Desabatimos el plano con el hexágono: Nos bastan 3 rectas horizontales para llevar los 6 vértices del polígono
2 Dibujamos las dos proyecciones del hexágono (los lados han de ser paralelos)
3 Por cada uno de los vértices del hexágono trazamos rectas perpendiculares a P. En una de estas rectas medimos 30 mm, podemos hacerlo de varias maneras (cambio de plano por ejemplo) en este caso se ha optado por diferencia de cotas.
4 Cuando tenemos un vértice del hexágono de arriba (con sus dos proyecciones) hallamos el resto del polígono trazando paralelas al de abajo (la figura nos tiene que quedar igual). Uniendo los vértices obtenemos las aristas de la figura que faltan.
5 repasamos distinguiendo partes vistas y ocultas.
TRUCO Nº2 PARA SECCIONES DE POLIEDROS: CARAS APOYADAS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN
Cuando tengas una cara completa de un poliedro sobre uno de los planos de proyección puedes estar seguro de que la sección que produce el plano pasará exactamente por la traza del plano.
En este caso, la base del prisma está apoyada en el plano horizontal y la traza horizontal P atraviesa la base, así que los puntos 1 y 2 pertenecen directamente a la sección. Para terminar de resolver el ejercicio meto las dos aristas verticales en planos frontales, lo cual da una recta de intersección frontal con el plano P.
Si en lugar de una cara es una arista, la sección pasará por el punto en que la traza toca a la arista. En el siguiente ejemplo, la arista A-C está contenida en el plano horizontal de proyección y la traza P la corta, así que el punto 1 de corte entre P y A-C es un punto de la sección.
¿Cuál sería el mejor método para resolver esta sección?
2. SECCIONES DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Cómo y cilindro
Buscar puntas decepción que nos den información importante:
En este caso es importante remarcar algunos puntos concretos:
Los puntos de la base: los puntos de corte de la traza horizontal con la circunferencia de la base. Son por así decirlo el arranque de la sección. (Puntos 1 y 2 en el dibujo)
El punto más alto de la sección: es el situado en la perpendicular al plano que pasa por V. (Punto 3) Para encontrar este punto necesitamos la generatriz perpendicular a la traza P del plano, la generatriz A-V.
El punto de tangencia: el punto donde la sección es tangente al contorno del cono. Este punto lo obtendrás en la generatriz paralela a la línea de tierra que, como hemos dicho antes, es la que define el contorno. (Punto 4)
Para terminar de completar el ejercicio, busco la sección con la generatriz B-V para tener un punto adicional, el punto 5’. Lo he resuelto igualmente por giro, como en el caso anterior.
En muchas ocasiones es posible que te pidan la verdadera magnitud con lo que simplemente tendrás que abatir el plano proyectante y cada uno de los puntos que has conseguido.
OTRO EJEMPLO
Vamos con el plano proyectante vertical
El caso genérico es el que tenemos más abajo. Para resolver esta sección que será una elipse tenemos dos métodos.
MÉTODO 1: POR GENERATRICES
Divide la circunferencia de la base en 8 partes iguales (a 45º cada división), dibuja la proyección vertical de cada una de esas 8 generatrices y encuentra los puntos en proyección vertical en que el plano corta a las generatrices. Encuentra su proyección horizontal y ¡listo!
MÉTODO 2: POR EJES DE LA ELIPSE
Este método es más preciso. La traza vertical P’ produce una sección en línea recta con extremos 1’, 2’. Estos puntos llevados a la proyección horizontal (recuerda que es en las generatrices paralelas a la línea de tierra que son las que definen el contorno) nos dan los extremos del eje mayor de la elipse.
El eje menor se encuentra en 3’-4’ como recta de punta en el punto medio del segmento 1’-2’. Podemos encontrar su longitud mediante y recuerda que es en las generatrices paralelas a la línea de tierra que son las que definen el contorno) nos dan los extremos del eje mayor de la elipse.
El eje menor se encuentra en 3’-4’ como recta de punta en el punto medio del segmento 1’-2’. Podemos encontrar su longitud mediante un giro.
SECCIÓN DEL CONO CON PLANOS OBLICUOS
Mi mejor recomendación para hacer la sección de un cono por plano oblicuo es hacer un cambio de plano.
Pero, ¿cómo encontrar en este caso los ejes de la elipse, cuando la elipse está cortada?
Muy sencillo. Tienes que dibujar el cono como si fuera continuo hasta que el plano lo corte en el otro extremo 2”. Así obtienes el eje mayor de la elipse. El eje menor, como en el ejercicio anterior.
Para llevar los puntos a la proyección vertical habría que utilizar los diámetros conjugados de la elipse 1’-2’ y 3’-4’. Para encontrarlos hay que utilizar las generatrices que pasan por dichos puntos. Encuentra también el punto de tangencia de la curva con el contorno del cono, que está en la generatriz paralela a la línea de tierra.
La alternativa al método del cambio de plano sería dividir el cono en 8 generatrices y hacer la intersección de cada generatriz con el plano de sección P.
En el segundo ejercicio la curva resultante es una hipérbola.
2.2. EL CILINDRO
El cilindro es aún más sencillo que el cono.
Si consideramos un cilindro apoyado por una de sus bases en el plano horizontal de proyección:
Un plano paralelo al plano horizontal produce una sección circular del mismo diámetro que las bases.
Un plano paralelo al frontal produce una sección rectangular vista en verdadera magnitud.
Un plano proyectante horizontal produce una sección rectangular en proyección, que habrá que abatir o cambiar de plano para ver en verdadera magnitud.
Un plano proyectante vertical produce una sección en forma de elipse, cuyo eje menor tiene siempre la misma dimensión que el diámetro de las bases. La longitud del eje mayor depende de la inclinación del plano.
Un plano oblicuo se puede simplificar mediante cambio de plano a uno proyectante.
Esta es la receta típica y clara para las secciones de cilindros.
La alternativa para hacer la sección por un plano oblicuo que no sea mediante cambio de plano es utilizar planos proyectantes (o frontales) que contengan generatrices completas del cilindro y encontrar la intersección de estos planos con el plano dado. Veámoslo con un ejemplo
En primer lugar podemos utilizar el truco que te enseñé para los poliedros, por el que utilizamos un plano horizontal Q que contenga a la base superior del cilindro y hacemos su intersección con el plano P. La intersección es una recta horizontal que en nuestro caso sí corta al cilindro, por lo que ya tenemos dos puntos de la sección 1 y 2.
Como ves, el plano no cortará a la base inferior porque la traza no lo toca.
Ahora dividimos la circunferencia de la base en 8 partes iguales y hacemos pasar por esas generatrices planos frontales. Encontramos a continuación la intersección de esos planos frontales con el plano P.
Por ejemplo, el plano frontal U contiene a la generatriz de base A. La intersección de los planos P, U es la recta frontal J, la cual corta a la generatriz de base A en el punto 3’. Este punto 3’ pertenece a la sección.
Por el resto de generatrices aplicamos el mismo método:
Como ves, todas las generatrices dan puntos de corte, del 3 al 8. Las dos únicas que no dan puntos de corte son las generatrices que he denominado a y b. Estas tendrían sus puntos de corte por fuera del cilindro (más arriba) y por tanto quedan fuera de la sección real. La sección termina en los puntos 1 y 2.
Con esto queda terminado el cilindro, en lo más básico.
2.3. LA ESFERA
Vamos allá con la esfera, la última pieza de revolución y el último volumen que estudiaremos en este artículo. Espero que sigas ahí
La sección de una esfera por un plano es SIEMPRE una circunferencia.
Fácil, ¿no? La única dificultad en este caso es dibujarla correctamente, en su posición y con su diámetro adecuados.
SECCIÓN DE LA ESFERA POR PLANOS PARALELOS A LOS DE PROYECCIÓN
Cuando la sección de una esfera viene dada por un plano frontal o uno horizontal, la sección siempre se ve en verdadera magnitud. El diámetro de la sección lo dan los extremos 1 y 2 de la sección, en la proyección en que se ve como una recta. Tendremos que llevar esos puntos 1 y 2 sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.
Recuerda que el contorno aparente de la circunferencia en una proyección viene determinado por el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.
SECCIÓN DE LA ESFERA POR PLANOS PROYECTANTES
En este caso nuevamente la sección es una circunferencia pero ahora no se verá en verdadera magnitud, sino como una elipse en una proyección y como una recta en la otra.
Los puntos 1, 2 en que la traza horizontal corta al perímetro de la esfera en proyección horizontal tienen su proyección vertical 1’, 2’ en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Ahí tenemos los extremos del eje menor de la elipse.
Para encontrar el eje mayor de la elipse tomamos el punto medio del segmento 1-2 (puedes hacerlo con una perpendicular desde O). En este punto medio están 3 y 4, los extremos del eje mayor de la elipse. Para encontrar su posición en proyección vertical tenemos que hacer una sección por un plano frontal que contenga a estos puntos.
Esa sección la hemos visto antes y es simplemente una circunferencia con un radio hasta el punto a’. En esa circunferencia se encuentran las proyecciones verticales 3’ y 4’.
Por último encontramos los puntos de tangencia de la elipse que se pueden ver en el diámetro paralelo a la línea de tierra en proyección horizontal. Es el punto T que tiene como proyecciones verticales los puntos T1 y T2.
Así que la sección y su abatimiento quedarían así:
La sección de la esfera por un plano oblicuo se realiza como siempre por cambio de plano, colocando el plano de sección P como proyectante
Ficha en PDF Solución Para hallar la sección que produce un plano oblícuo en una esfera podemos dibujar planos auxiliares que corten al plano y a la figura. 1. Trazamos planos horizontales que corten a la esfera en circunferencias (que se ven en verdadera magnitud en el PH) y al plano P en rectas horizontales. 2.Donde las rectas corten a las circunferencias vamos hallahdo puntos de la circunferencia. 3. la sección ha de ser una circunferencia: basta con hallar el radio de esta.
Este es el método paso a paso que te servirá para resolver prácticamente todos los ejercicios de este tipo.
Dibuja un plano P que contenga a la recta R dada. Lo ideal es que utilices un plano lo más sencillo posible y estos serían los casos:
Para una recta horizontal: usar un plano horizontal
Para una recta frontal: usar un plano frontal
Para una recta oblicua: usar un plano proyectante o un oblicuo.
En el caso de los conos y las pirámides podemos definir un plano oblicuo utilizando la recta dada y otra definida a partir de un punto de esa recta y el vértice de la figura. De esta forma se simplifica notablemente el trazado, sobre todo en el caso del cono, en el que habría que utilizar muchas generatriz es si lo hacemos mediante un plano proyectante.
En el caso de los cilindros oblicuos y prismas oblicuos podemos utilizar también Un plano oblicuo. En este caso definiremos el plano con la recta dada y otra definida a partir de un punto de la recta dada y que tenga la misma orientación que las generatriz es en el caso de cono y que las aristas (no de sus bases)en el caso de el prisma oblicuo.
Para una recta de perfil: usar un plano de perfil
Para rectas de punta y rectas verticales veremos una manera más sencilla de resolverlo.
Encuentra la sección que produce el plano P en la pieza.
Encuentra los puntos de intersección de la recta R con la sección realizada en el apartado anterior.
Mira los vídeos de esa entrada de blog, especialmente el del cono y cilindro oblicuo, donde verás ejemplos del caso dos.
Como ya se explicado, Se pueden utilizar dos métodos:
1. PLANO AUXILIAR PROYECTANTE QUE CONTENGA A LA RECTA
Dada la recta R y el cono, si procedemos según el método anterior, la sección será probablemente una curva, siendo los puntos de intersección entre ésta y la recta dada de trazado impreciso y el cálculo de la sección laborioso.
Podemos emplear en este caso un segundo método que nos permitirá simplificar el trazado y operar con mayor precisión tomando como auxiliar, un plano secante que pase por el vértice del cono (o que sea paralelo a las generatrices del cilindro de tratarse de una superficie cilíndrica) pues las secciones por este generadas serán polígonos cuyos lados coincidirán con las generatrices de la superficie.
El plano Q auxiliar antedicho quedará determinado por la propia recta R y por otra S que, pasando por el vértice del cono (o paralelo a las generatrices del cilindro), corte a la recta R en un punto arbitrario N. Dibujada la recta S, calculamos las trazas horizontales de las rectas y la traza horizontal del plano Q que estas determinan.
La traza del plano así dibujado corta a la base del cono en los puntos 1 y 2desde donde trazamos las correspondientes generatrices que delimitarán la sección triangular 1V2, producida por éste en el cono.
Las generatrices trazadas cortan a la recta R en los puntos X e Y buscados. (La recta R y la sección 1V2 pertenecen al mismo plano Q de modo que los puntos de intersección X e Y de las proyecciones de los lados del polígono y la recta, son corte real entre estas.) Figura 38.
Intersección entre recta y superficie.
CONO
Aunque el método general explicado al principio sirve también para cono y cilindro, en general los planos proyectantes producen secciones con forma de elipse o parábola y de esta manera el proceso es laborioso y, sobre todo, impreciso.
Vamos a utilizar un método por el que conseguiremos siempre secciones triangulares en el cono y secciones rectangulares en el cilindro.
Para el cono el proceso es el siguiente:
Tomar un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
Dibujar la recta S(s’-s) que une A(a’-a) con el vértice del cono V(v’-v)
Hallar y unir los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cono es triangular, pasa por el vértice y por los puntos de corte de la traza con la base del cono.
Esto sucede solo en el caso de que el cono esté apoyado en el plano horizontal de proyección.
En este caso hemos utilizado también un plano que contiene a la recta R, solo que no es proyectante, sino que es un plano que pasa por el vértice. Así tendremos siempre una sección triangular, que son más rápidas y precisas de dibujar.
Hemos conseguido que el plano pase por el vértice porque hemos utilizado una recta S que corta a la recta R en el punto A y hemos hecho que esta recta S pase por el vértice.
CILINDRO
El caso del cilindro es similar al del cono. La única diferencia es que en el caso del cilindro el vértice es un punto impropio, lo que quiere decir que en lugar de tomar una recta que pase por el vértice, utilizaremos una recta paralela a las generatrices.
Veámoslo paso a paso:
Toma un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
Dibuja una recta S(s’-s) que pasa por A(a’-a) y es paralela a las generatrices del cilindro.
Halla y une los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cilindro es rectangular, con dos lados paralelos a las generatrices del cilindro y pasando por los puntos de corte de la traza con la base del cono.
Ficha en PDF Solución Cuando una recta corta una figura (y no se ve a simple vista), podemos trazar un plano que contenga a la recta. Este plano seccionará a la pirámide en un polígono. Donde éste corte a la recta estarán los puntos que buscamos.
Una recta atravesaría un prisma por dos puntos (podemos imaginárnoslo como una bala atravesando el cuerpo). Cuando la figura tiene las caras paralelas a los planos de proyección los "orificios de entrada" se ven directamente. pero en este caso no es así; así que para verlos trazamos un plano P que contiene a la recta R (un plano P proyectante, que es más fácil). El plano P corta al cuerpo formando en este caso un triángulo: donde éste corte a la recta tenemos los dos puntos que buscamos, ya que pertenecen tanto a la recta como a la figura.
Ejercicio 2 1 Hallamos la proyección vertical del punto O mediante una recta horizontal Abatimos el plano P con el punto O Dibujamos el hexágono en el plano abatido Desabatimos el plano con el hexágono: Nos bastan 3 rectas horizontales para llevar los 6 vértices del polígono
2 Dibujamos las dos proyecciones del hexágono (los lados han de ser paralelos)
3 Por cada uno de los vértices del hexágono trazamos rectas perpendiculares a P. En una de estas rectas medimos 30 mm, podemos hacerlo de varias maneras (cambio de plano por ejemplo) en este caso se ha optado por diferencia de cotas.
4 Cuando tenemos un vértice del hexágono de arriba (con sus dos proyecciones) hallamos el resto del polígono trazando paralelas al de abajo (la figura nos tiene que quedar igual). Uniendo los vértices obtenemos las aristas de la figura que faltan.
5 repasamos distinguiendo partes vistas y ocultas.
Una recta debe cortar a un cono en dos puntos. En este caso parece claro que no corta a la base, así que debe cortar a dos generatrices. La forma "normal" de resolverlo sería meter la recta en un plano (P) y hallar la sección que produce en el cono (elipse, parábola...). Si trazamos un plano cualquiera (proyectante, por ejemplo) la sección será una elipse o una hipérbola: Donde ésta corte a la recta estarán los puntos. El problema es que estas curvas son "trabajosas" de trazar, y las hemos de dibujar a mano alzada.
Así que podemos optar por una solución más simple. En vez de un plano proyectante , trazamos el definido por la recta y el vértice del cono: Este plano cortará al cono en un triángulo. Así que:
1º Hallamos el plano definido por R y el vértice.-Para ello hemos dibujado una recta paralela a R que pasa por V, conseguimos las trazas de la recta y las unimos.
2º Trazamos la sección que produce P en el cono. Ésta tiene que ser un triángulo cuyos vértices son el punto V y la sección que produce el plano en la circunferencia-base.
3º Donde este triángulo corte a la recta R estarán los puntos que buscamos.
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https://www.slideshare.net/PacoAguero/secciones-sd
Ficha en PDF
1- Dibujamos las aristas de la pirámide uniendo los vértices
Ficha en PDF
1- Dibujamos las aristas de la pirámide uniendo los vértices
3 Por cada uno de los vértices del hexágono trazamos rectas perpendiculares a P. En una de estas rectas medimos 30 mm, podemos hacerlo de varias maneras (cambio de plano por ejemplo) en este caso se ha optado por diferencia de cotas.
4 Cuando tenemos un vértice del hexágono de arriba (con sus dos proyecciones) hallamos el resto del polígono trazando paralelas al de abajo (la figura nos tiene que quedar igual). Uniendo los vértices obtenemos las aristas de la figura que faltan.
5 repasamos distinguiendo partes vistas y ocultas.
FICHA SOLUCIONADA
Solución en PDF
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