- Para construir figuras de área equivalente nos vamos a apoyar en:
- Teorema de Thales.
- Teoremas de la Altura o el Cateto de Euclides.
- Teorema de Pitágoras.
- Media Proporcional.
- Enlace a la entrada sobre el tema del blog donde se explican.
- Utilizaremos para ello sus demostraciones gráficas.
Algunos problemas clásicos de equivalencias:
La MEDIA PROPORCIONAL:
Se utiliza para hallarla cualquiera de los teoremas de Euclides, basados a su vez en el teorema de Thales (semejanza entre dos triángulos).
- Teorema de la Altura
- La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es segmento media proporcional de los segmentos de hipotenusa que quedan a ambos lados del pie de dicha altura.
- Dicho de otro modo, en cada triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la altura relativa a la hipotenusa es igual al rectángulo que tiene como medidas las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
2. Teorema del Cateto.
- El cateto menor de un triángulo rectángulo es segmento media proporcional de su proyección sobre la hipotenusa y la propia hipotenusa.
- En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre un cateto es equivalente al rectángulo que tiene por medidas la proyección de este cateto sobre la hipotenusa y la misma hipotenusa.
Ambos teoremas se basan en el conocido teorema de Thales, que establece una relación entre los lados de dos triángulos semejantes.
- Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es.
- Esto es así ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre son180º sexagesimales.
Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar que tienen dos ángulos iguales.
En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.
En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.
Podemos por tanto, aplicando Thales, establecer algunas igualdades como:
BA/BC = BH/BA o AH/HC = BH/AH
siendo BA la distancia entre los puntos A y B etc.
En el caso de problemas sobre cuadraturas:
- Para hallar el lado del cuadrado equivalente a dicho polígono, utilizaremos el esquema gráfico de la media proporcional (teorema de Euclides de la altura o el cateto). Pero no siempre podré sustituir los términos de la fórmula de la media proporcional por los del área del polígono dado.
- Los pasos a seguir serán:
- Transformar el polígono que me den en un triángulo. Y lo hacemos así porque de esta manera es más fácil aplicar la fórmula gráfica de la media proporcional. Así, los segmentos a y b de la fórmula de la media proporcional serán la base b de dicho triángulo y el segmento a 1/2 de su altura.
- Para que mengue el número de vértices, tenemos que recordar que dos triángulos tendrán igual área siempre que tengan un mismo lado e igual altura sobre ese lado.
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Sabido esto lo aplicamos a la transformación del polígono en triángulo de área equivalente:
- Otros problemas de equivalencias explicados en vídeo por Juan Escobar.
Demostraciones gráficas de los teoremas empleados que se utilizan para resolver los problemas de equivalencias:
- Esquemas procedentes de oggisioggino.wordpress.com, donde se puede leer sus explicaciones.
La Geometría Métrica se basa en parte en el Teorema de Pitágoras, que dice:
- Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
- Esta relación está representada por la fórmula:
- Demostraciones en las que basamos algunos problemas de equivalencias de áreas de figuras:
17 demostraciones sin palabras del teorema de Pitágoras.
- Mira qué fácil se demuestra en matematicascercanas.com
- Conozcamos algo más a Pitágoras y por qué su famosa fórmula nos es de tanta utilidad en Geometría. Enlace al vídeo.
- Cuadro psinoptico para repasar todo sobre triángulos interactivo. Enlace edu.xunta.es
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